Question

11．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C的对应点为C′．
（1）若点C′刚好落在对角线BD上时，BC′=4；
（2）当B C′∥DE时，求CE的长；
（3）若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）根据∠C=90°，BC=8，可得Rt△BCD中，BD=10，据此可得BC′=10-6=4．
（2）由折叠得，∠CED=∠C′ED，根据BC′∥DE，可得∠EC′B=∠C′ED，∠CED=∠C′BE，进而得到∠EC′B=∠C′EB，据此可得BE=C′E=EC=4；
（3）作AD的垂直平分线，交AD于点M，交BC于点N，分两种情况讨论：①当点C′在矩形内部时；②当点C′在矩形外部时，分别根据勾股定理，列出关于x的方程进行求解即可．

解答 解：（1）如图1，由折叠可得DC'=DC=6，
∵∠C=90°，BC=8，
∴Rt△BCD中，BD=10，
∴BC′=10-6=4．
故答案为4；

（2）如图2，由折叠得，∠CED=∠C′ED，
∵BC′∥DE，
∴∠EC′B=∠C′ED，∠CED=∠C′BE，
∴∠EC′B=∠C′EB，
∴BE=C′E=EC=4；

（3）作AD的垂直平分线，交AD于点M，交BC于点N，分两种情况讨论：
①当点C′在矩形内部时，如图3，
∵点C′在AD的垂直平分线上，
∴DM=4，
∵DC′=6，
∴由勾股定理得：MC′=2$\sqrt{5}$，
∴NC′=6-2$\sqrt{5}$，
设EC=x，则C′E=x，NE=4-x，
∵NC′²+NE²=C′E²，
∴（6-2$\sqrt{5}$）²+（4-x）²=x²，
解得：x=9-3$\sqrt{5}$，
即CE=9-3$\sqrt{5}$；

②当点C′在矩形外部时，如图4，
∵点C′在AD的垂直平分线上，
∴DM=4，
∵DC′=6，
∴由勾股定理得：MC′=2$\sqrt{5}$，
∴NC′=6+2$\sqrt{5}$，
设EC=y，则C′E=y，NE=y-4，
∵NC′²+NE²=C′E²，
∴（6+2$\sqrt{5}$）²+（y-4）²=y²，
解得：y=9+3$\sqrt{5}$，
即CE=9+3$\sqrt{5}$，
综上所述，CE的长为9±3$\sqrt{5}$．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了折叠的性质，矩形的性质，垂直平分线的性质以及勾股定理的综合应用．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．