Question

如图，在正方形ABCD中，点P从C点出发，沿射线CB运动，连接AP，过点P作EP⊥AP，分别交直线CD、AB的延长线于点E、F．
（1）当点P在线段CB上时（如图1），求证：BP=EC+BE；
（2）当点P在CB的延长线上时，画出图形，猜想线段BP、EC、BF之间的数量关系并加以证明．

Answer 1

考点：正方形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）先根据正方形的性质求得PC+PB=BC=AB，然后证得△PFB∽△PEC，得出PC•BF=PB•CE，在直角三角形PAF中，PB是斜边AF上的高，根据射影定理得出
PB²=AB•BF=BC•BF=（PB+PC）•BF=PB•BF+PC•BF=PB•BF+PB•CE=PB•（BF+CE），即可证得结论；
（2））先根据正方形的性质求得PC-PB=BC=AB，然后证得△PFB∽△PEC，得出PC•BF=PB•CE，在直角三角形PAF中，PB是斜边AF上的高，根据射影定理得出PB²=AB•BF=BC•BF=（PC-PB）•BF=PC•BF-PB•BF=PB•CE-PB•BF=PB•（CE-BF），即可证得结论；

解答：（1）证明：如图1，∵ABCD为正方形
∴PC+PB=BC=AB
∵AP⊥EF，CB⊥AB
∵在直角三角形PCE和直角三角形PBF中，∠BPF=∠CPE
∴△PFB∽△PEC
∴

PB

PC

=

BF

CE

，
∴PC•BF=PB•CE
∵PA⊥EF，PB⊥AB
∴在直角三角形PAF中，PB是斜边AF上的高
∴PB²=AB•BF=BC•BF=（PB+PC）•BF=PB•BF+PC•BF=PB•BF+PB•CE=PB•（BF+CE）
∴BP=EC+BF．

（2）BP=EC-BF．
证明：如图2，
∵四边形ABCD为正方形
∴PC-PB=BC=AB
∵AP⊥EF，CB⊥AB
∵在直角三角形PCE和直角三角形PBF中，∠BPF=∠CPE
∴△PFB∽△PEC
∴

PB

PC

=

BF

CE

，
∴PC•BF=PB•CE
∵PA⊥EF，PB⊥AB
∴在直角三角形PAF中，PB是斜边AF上的高
∴PB²=AB•BF=BC•BF=（PC-PB）•BF=PC•BF-PB•BF=PB•CE-PB•BF=PB•（CE-BF）
∴BP=EC-BF．

点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，射影定理的应用，熟练掌握性质定理是关键．