Question

如图，在△ABC中，AC=BC，∠A=30°，D为AB的中点，∠EDF=60°，E，F分别在AC，BC上
（1）当点E在AC的延长线上时，求

DE

DF

的值；
（2）线段CE、CF、AC存在怎样的数量关系？写出你的猜想并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：（1）根据等腰三角形的性质，可得CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=60°，∠ADC=∠BDC=90°，根据直角三角形的性质，可得DG=

1

2

AC=CG，DH=

1

2

BC=CH，根据等边三角形的判定，可得△DCG、△DCH是等边三角形，根据全等三角形的判定与性质，可得DE与DF的关系，根据比的意义，可得答案；
（2）根据全等三角形的性质，可得CG与CH的关系，根据等式的性质，可得CE与HF的关系，根据等量代换，可得CF-HF=CF-CE=CH=

1

2

BC=

1

2

AC，根据等式的性质，可得答案．

解答：解：（1）如图：

分别取AC、BC的中点G、H，连接DG，DH，
∵△ABC是等腰三角形，∠A=30°，AD是中线，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=60°，∠ADC=∠BDC=90°，
∴DG=

1

2

AC=CG，DH=

1

2

BC=CH，
∴△DCG、△DCH是等边三角形，
∴DG=DC，∠CDG=∠EDF=∠DCF=60°，
∴∠EDG=∠CDF，
在△DEG和△DFC中，

∠EGD=∠FCD DG=DC ∠EDG=∠FDC

，
∴△DEG≌△DFC（ASA），
∴GE=CF，DE=DF，即

DE

DF

=1；
（2）∵△DCG、△DCH是等边三角形，DC=DC，
∴△DCG≌△DCH（SSS），
∴CG=CH．
∵EG-CG=CF-CH，
∴CE=HF，
∴CF-HF=CF-CE=CH=

1

2

BC=

1

2

AC，
∴AC=2（CF-CE）．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质．