Question

7．如图，抛物线y=ax²+2x+c经过点A（0，3）、B（-1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为D，与x轴的另一交点为C，对称轴交x轴于点E，连接BD，求cos∠DBE；
（3）在直线BD上是否存在点F，使由B、C、F三点构成的三角形与△BDE相似？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A、B两点坐标代入即可求得解析式；
（2）先求出D点坐标，从而求出BE、DE、BD长度，cos∠DBE则可直接算出；
（3）由于B是公共点，不可能是直角顶点，所以就只剩下两种情，即让C和F分别为直角顶点，根据相似性质，列出比例等式计算即可．

解答 解：（1）将A（0，3）、B（-1，0）代入y=ax²+2x+c可得：
c=3，a=-1，
抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴D（1，4），
∴BE=2，DE=4，
∴BD=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴cos∠DBE=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（3）∵B（-1，0），D（1，4），
∴直线BD的解析式为y=2x+2，
∵y=-x²+2x+3=-（x-3）（x+1），
∴C（3，0），
∴BC=4，
①若△BED∽△BFC，如图1，

则∠BED=∠BFC=90°，
作FG⊥BC于G，
∵cos∠CBF=$\frac{BF}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴BF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴BG=$\frac{\sqrt{5}}{5}BF$=$\frac{4}{5}$，
∴OG=$\frac{1}{5}$，GF=$\frac{8}{5}$，
∴F（-$\frac{1}{5}$，$\frac{8}{5}$）；
②若△BED∽△BCF，如图2，

则∠BCF=90°，
∴F点横坐标为3，
将3代入BD解析式得：y=8，
∴F（3，8）；
综上所述，满足要求的F点的坐标为：（-$\frac{1}{5}$，$\frac{8}{5}$）、（3，8）．

点评 本题考查了待定系数法求抛物线解析式、锐角三角函数、相似三角形的判断与性质等重要知识点，难度不大．第（2）的关键是找到∠DBE所在直角三角形，求出邻边与斜边；对于第（3）问，首注意到要求相似的两个三角形有公共点B，这样就只有两种情况，并且∠BED是直角，这样就只需通过作垂线找到F点．