Question

如图：抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（2，0）．与y轴的负半轴交于点C，且△ABC的面积为3
（1）求点C的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用三角形的面积公式求得OC的长度，则易求点C的坐标；
（2）把点A、B、C的坐标分别代入二次函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组来求系数的值．即利用待定系数法来求二次函数的解析式；
（3）两个三角形中的公共边是线段AB，且线段AB是抛物线以下△PAB中最大的一条边，那就说明AB边只能是△PAB的最大边，然后通过对应角相等．P只能是C点的对称点，且只有一点．

解答：解：（1）∵A（-1，0），B（2，0），
∴AB=3，
∵△ABC的面积为3，
∴

1

2

×3OC=3，即OC=2，
∴点C的坐标为（0，-2）．

（2）∵A（-1，0），B（2，0），C（0，-2）．
∴代入y=ax²+bx+c，得

0=a-b+c 0=4a+2b+c c=-2

，解得

a=1 b=-1 c=-2

，
∴抛物线的解析式为y=x²-x-2；

（3）设抛物线的顶点为D．
∵抛物线的解析式为y=x²-x-2=（x-

1

2

）²-

9

4

，
∴D（

1

2

，-

9

4

）．
又A（-1，0），B（2，0），C（0，-2），
∴AB=3，AC=

5

，BC=2

2

，AD=BD=

3 13

4

，
∴在△ABC和△ABP中，都是线段AB最长，
∴以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似时，∠ACB=∠APB，
∴点C与点P关于x=

1

2

对称，
则P（1，-2）．

点评：本题考查了二次函数综合题，其中涉及到了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质．以A，B，P为顶点的三角形与△ABP不是一个意思，不能混同．同时，本题涉及的抛物线是轴对称图形，务请注意．