Question

【题目】如图1和2，中，AB=3，BC=15，．点为延长线上一点，过点作切于点，设．

（1）如图1，为何值时，圆心落在上？若此时交于点，直接指出PE与BC的位置关系；

（2）当时，如图2，与交于点，求的度数，并通过计算比较弦与劣弧长度的大小；

（3）当与线段只有一个公共点时，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）当x=9时，圆心O落在AP上，PE⊥BC；（2）∠CAP=45°，弦AP的长度＞劣弧长度；（3）x≥18．

【解析】

（1）由三角函数定义知：Rt△PBC中，tan∠PBC=tan∠DAB，设CP=4k，BP=3k，由勾股定理可求得BC，根据“直径所对的圆周角是直角”可得PE⊥AD，由此可得PE⊥BC；

（2）作CG⊥AB，运用勾股定理和三角函数可求CG和AG，再应用三角函数求∠CAP，应用弧长公式求劣弧长度，再比较它与AP长度的大小；

（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，⊙O与AD相切于点A，或⊙O与线段DA的延长线相交于另一点，此时，BP有最小值，即x≥18．

（1）如图1，AP经过圆心O．

∵CP与⊙O相切于P，∴∠APC=90°．

∵ABCD，∴AD∥BC，∴∠PBC=∠DAB，∴tan∠PBC=tan∠DAB，设CP=4k，BP=3k，由CP2+BP2=BC2，得（4k）2+（3k）2=152，解得：k1=﹣3（舍去），k2=3，∴x=BP=3×3=9，故当x=9时，圆心O落在AP上；

∵AP是⊙O的直径，∴∠AEP=90°，∴PE⊥AD．

∵ABCD，∴BC∥AD，∴PE⊥BC．

（2）如图2，过点C作CG⊥AP于G．

∵ABCD，∴BC∥AD，∴∠CBG=∠DAB，∴tan∠CBG=tan∠DAB，设CG=4m，BG=3m，由勾股定理得：（4m）2+（3m）2=152，解得：m=3，∴CG=4×3=12，BG=3×3=9，PG=BG﹣BP=9﹣4=5，AP=AB+BP=3+4=7，∴AG=AB+BG=3+9=12，∴tan∠CAP1，∴∠CAP=45°；

连接OP，OQ，过点O作OH⊥AP于H，则∠POQ=2∠CAP=2×45°=90°，PHAP．

在Rt△CPG中，13．

∵CP是⊙O的切线，∴∠OPC=∠OHP=90°，∠OPH+∠CPG=90°，∠PCG+∠CPG=90°，∴∠OPH=∠PCG，∴△OPH∽△PCG，∴，即PH×CP=CG×OP，13=12OP，∴OP，∴劣弧长度．

∵2π＜7，∴弦AP的长度＞劣弧长度．

（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，⊙O与AD相切于点A，或⊙O与线段DA的延长线相交于另一点，此时圆心O位于直线AB下方，且∠OAD≥90°，当∠OAD=90°，∠CPM=∠DAB时，即⊙O与DA切于点A时，BP取得最小值，如图3，过点C作CM⊥AB于M．

∵∠DAB=∠CBP，∴∠CPM=∠CBP，∴CB=CP．

∵ABCD，∴AD∥BC，∴∠PBC=∠DAB，∴tan∠PBC=tan∠DAB，设CM=4k，BM=3k，由CM2+BM2=BC2，得（4k）2+（3k）2=152，解得：k1=﹣3（舍去），k2=3，∴x=BM=3×3=9．

∵CM⊥AB，∴BP=2BM=2×9=18，∴x≥18．