Question

13．如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问：点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？求出这个最小值．
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式$\sqrt{{x^2}+4}+\sqrt{{{（12-x）}^2}+9}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式$\sqrt{{x^2}+4}+\sqrt{{{（12-x）}^2}+9}$的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．

解答 解：（1）∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{25+（8-x）^{2}}$，
CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，
∴AC+CE=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\sqrt{25+（8-x）^{2}}$；

（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，
过A作AF⊥DE交ED的延长线于F，
∴DF=AB=5，
∴AE=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴AC+CE的最小值是10；

（3）如图2所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，
设BC=x，则AE的长即为代数式$\sqrt{{x^2}+4}+\sqrt{{{（12-x）}^2}+9}$的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，
所以AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=13，
即$\sqrt{{x^2}+4}+\sqrt{{{（12-x）}^2}+9}$的最小值为13．

点评 此题主要考查了轴对称求最短路径，本题利用了数形结合的思想，求形如$\sqrt{{x^2}+4}+\sqrt{{{（12-x）}^2}+9}$的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．