Question

13．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，动点E、F同时从顶点B出发，其中点E从点B向点A以每秒1个单位的速度运动，点F从点B出发沿B-C-A的路线向终点A以每秒2个单位的速度运动，以EF为边向上（或向右）作等边三角形EFG，AH是△ABC中BC边上的高，两点运动时间为t秒，△EFG和△AHC的重合部分面积为S．
（1）用含t的代数式表示线段CF的长；
（2）求点G落在AC上时t的值；
（3）求S关于t的函数关系式；
（4）动点P在点E、F出发的同时从点A出发沿A-H-A以每秒2$\sqrt{3}$单位的速度作循环往复运动，当点E、F到达终点时，点P随之运动，直接写出点P在△EFG内部时t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质得出BC=AB=6得出CF=BC-BF=6-2t即可；
（2）由菱形的性质和已知条件得出△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°，由等边三角形的性质和三角函数得出∠GFE=60°，GF=EF=BF•sin60°=$\sqrt{3}$t，证出∠GEC=90°，由三角函数求出CF=$\frac{GF}{tan60°}$=t，由BF+CF=BC得出方程，解方程即可；
（3）分两种情况：①0＜t＜$\frac{3}{2}$时，S=0；
②当$\frac{3}{2}$＜t≤2时，S=S_△EFG-S_△MEN，即可得出结果；
③当2＜t≤3时，由①的结果容易得出结论；
（4）由题意得出t=$\frac{3}{2}$时，点P与H重合，E与H重合，得出点P在△EFG内部时，t的不等式，解不等式即可．

解答 解：（1）根据题意得：BF=2t，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=6，
∴CF=BC-BF=6-2t；
（2）点G落在线段AC上时，如图1所示：

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠GFE=60°，GE=EF=BF•sin60°=$\sqrt{3}$t，
∵EF⊥AB，
∴∠BFE=90°-60°=30°，
∴∠GFB=90°，
∴∠GFC=90°，
∴CF=$\frac{GF}{tan60°}$$\frac{\sqrt{3}t}{\sqrt{3}}$=t，
∵BF+CF=BC，
∴2t+t=6，
解得：t=2；
（3）分三种情况：
①当0＜t≤$\frac{3}{2}$时，S=0；
②当$\frac{3}{2}$＜t≤2时，如图2所示，

S=S_△EFG-S_△MEN=$\frac{1}{2}$$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\sqrt{3}$t）²-$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$+2$\sqrt{3}$）²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t²+$\sqrt{3}$t-3$\sqrt{3}$，
即S=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t²+$\sqrt{3}$t-3$\sqrt{3}$；
③当2＜t≤3时，如图3所示：

S=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t²+$\sqrt{3}$t-3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}$（3$\sqrt{3}$t-6$\sqrt{3}$）²，
即S=-$\frac{65\sqrt{3}}{24}$t²+$\frac{29\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{33\sqrt{3}}{2}$；
（4）∵AH=AB•sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴3$\sqrt{3}$÷2$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$，
∴3÷2=$\frac{3}{2}$，
∴t=$\frac{3}{2}$时，点P与H重合，E与H重合，
∴点P在△EFG内部时，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-$\sqrt{3}$＜（t-$\frac{3}{2}$）×2$\sqrt{3}$＜$\sqrt{3}$t-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（2t-3）+$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2t-3），
解得：$\frac{3}{2}$＜t＜$\frac{12}{5}$；
即：点P在△EFG内部时t的取值范围为：$\frac{3}{2}$＜t＜$\frac{12}{5}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要进行分类讨论才能得出结果