Question

把正整数染成红色或蓝色，每种颜色的数不少于两个．是否存在这样的染法，使得
（I）红色数的积是红色，蓝色数的积是蓝色？
（Ⅱ）红色数的和是红色，蓝色数的和是蓝色？
如果存在，请写出你认为满足条件的染色方法；如果不存在，试说明理由．

Answer 1

考点：染色问题

专题：

分析：（I）根据两数之和以及两数之积之间的关系分析得出即可．
（Ⅱ）首先假设红色数的和是红色，蓝色数的和是蓝色，不妨假定1是红色，另一个最小的红色数是K，进而利用当K=2时，当K＞2时分析得出即可．

解答：解：（I）存在，
当把奇数染成红色，偶数染成蓝色时，满足条件；
（Ⅱ）不存在，
假设红色数的和是红色，蓝色数的和是蓝色，不妨假定1是红色，另一个最小的红色数是K，
则所有不小于K（K≥2）的数都是红色且所有正整数2，3，…，K-1，都是蓝色，
这样，当K=2时，所有的正整数都是红色，不合条件；
当K＞2时，K-1是蓝色，由题设还有一个不等式1的蓝色数，它与K-1相加，得到一个大于K的
蓝色数，与所有不小于K的数都是红色矛盾．

点评：此题主要考查了染色问题，利用数字规律结合分类讨论得出是解题关键．