Question

7．在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=2，以AB为一边，在三角形ABC的外部作等腰直角三角形ABD，则线段CD的长为4或2$\sqrt{5}$或$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 分三种情况：①当∠BAD=90°时，CD=AC+AD；
②当∠ABD=90°时，作DE⊥CA于E，根据勾股定理求出CD；
③当∠ADB=90°时，作DE⊥AD于E，根据勾股定理求出CD．

解答 解：分三种情况：
①当∠BAD=90°时，如图1所示：

AD=AB=2，
∴CD=AC+AD=2+2=4；
②当∠ABD=90°时，作DE⊥CA于E，
如图2所示：

AE=BD=AB=2，
∴CD=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
③当∠ADB=90°时，
作DE⊥AD于E，如图3所示：

则AE=$\frac{1}{2}$AB=1，CE=2+1=3，
∴CD=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
综上所述：CD的长为4或2$\sqrt{5}$或$\sqrt{10}$．
故答案为：4或2$\sqrt{5}$或$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理的运用；熟练掌握等腰直角三角形的性质，分类讨论，避免漏解．