题目内容
15．在探究矩形的性质时，小明得到了一个有趣的结论：矩形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．如图1，在矩形ABCD中，由勾股定理，得AC2=AB2+BC2，BD2=AB2+AD2，又CD=AB，AD=BC，所以AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2=2（AB2+BC2）．小亮对菱形进行了探究，也得到了同样的结论，于是小亮猜想：任意平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．请你解决下列问题：
（1）如图2，已知：四边形ABCD是菱形，求证：AC2+BD2=2（AB2+BC2）；
（2）你认为小亮的猜想是否成立，如果成立，请利用图3给出证明；如果不成立，请举反例说明；
（3）如图4，在△ABC中，BC、AC、AB的长分别为a、b、c，AD是BC边上的中线．试求AD的长．（结果用a，b，c表示）
分析 （1）根据菱形的对角线互相平分且垂直以及勾股定理进行证明即可；
（2）作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，证明AE=DF，BE=CF，根据矩形的性质证明即可；
（3）延长AD到E，使DE=AD，连接BE，CE，构造平行四边形，由（2）的结论代入求值即可．
解答 解：
（1）如图2，设AC与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2OA，BD=2OB．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
OA2+OB2=AB2，
∴AC2+BD2=4OA2+4OB2=4（OA2+OB2）=4AB2，
又∵AB=BC，
∴AC2+BD2=2（AB2+AB2）=2（AB2+BC2）；
（2）小亮的猜想成立．
证明：如图，3，作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，
则∠AEB=∠DFC=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∴△ABE≌△DCF，
∴AE=DF，BE=CF．
在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理得，
AC2=AE2+EC2=AE2+（BC-BE）2，
BD2=DF2+BF2=DF2+（BC+CF）2=AE2+（BC+BE）2，
∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2（AE2+BE2）+2BC2．
又∵AE2+BE2=AB2，
故AC2+BD2=2（AB2+BC2）；
（3）如图4，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，CE，则AE=2AD，
∵BD=CD，
∴四边形ABEC是平行四边形．
由（2）的结论，得
AE2+BC2=2（AB2+AC2），
即（2AD）2+a2=2（b2+c2），
解得AD2=$\frac{1}{4}$（2b2+2c2-a2），
故AD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2{b}^{2}+2{c}^{2}-{a}^{2}}$．
点评 本题考查的是矩形、菱形和平行四边形的性质以及勾股定理的应用，掌握特殊平行四边形的性质定理和勾股定理是解题的关键，注意三角形的中线的性质的灵活运用．
优质课堂快乐成长系列答案
如图，AC=AD，BC=BD，则下列结果正确的是（ ）| A． | ∠ABC=∠CAB | B． | OA=OB | C． | ∠ACD=∠BDC | D． | AB⊥CD |
| A． | x=-1，y=1 | B． | x=1，y=-1 | C． | x=-1，y=-1 | D． | x=1，y=1 |
已知：平行四边形ABCD在直角坐标系中的位置如图，O是坐标原点，OB：OC：OA=1：3：5，S□ABCD=12，抛物线经过D、A、B三点．
如图，已知△ABC中，AD是BC边上的高，点E在线段BD上，且AE平分∠BAC，若∠B=40°，∠C=78°，则∠EAD=19°．
如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走50m至点B，乙从A点出发向南偏西15°方向走60m至点C，则∠BAC的度数是（ ）| A． | 85° | B． | 160° | C． | 125° | D． | 105° |