Question

2．⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃的半径分别是1cm、2cm、3cm．它们两两外切．求△O₁O₂O₃内切圆的面积．

Answer 1

分析 连接O₁O₂，O₂O₃，O₁O₃，设△O₁O₂O₃内切圆为O，过O作OD⊥O₂O₃于D，OE⊥O₁O₃于E，OF⊥O₂O₁于F，连接OO₁、OO₂、OO₃，设OD=OE=OF=Rcm，求出△O₁O₂O₃的三边长，根据勾股定理的逆定理求出三角形是直角三角形，根据三角形的面积求出半径R，即可求出答案．

解答 解：
连接O₁O₂，O₂O₃，O₁O₃，设△O₁O₂O₃内切圆为O，过O作OD⊥O₂O₃于D，OE⊥O₁O₃于E，OF⊥O₂O₁于F，连接OO₁、OO₂、OO₃，
设OD=OE=OF=Rcm，
∵⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃的半径分别是1cm、2cm、3cm．它们两两外切，
∴O₁O₂=3cm，O₁O₃=4cm，O₂O₃=5cm，
∴O₁O₂²+O₁O₃²=O₂O₃²，
∴∠O₁O₃=90°，
由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}×3$×4=$\frac{1}{2}$×3R+$\frac{1}{2}×4R$+$\frac{1}{2}$×5R，
解得：R=1，
所以△O₁O₂O₃内切圆的面积为π×1²=π（cm²）．

点评 本题考查了相切两圆的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积的应用，能求出关于R的方程是解此题的关键．