Question

如图1，已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，上底CD=3，∠BAD=60°，∠BAC=30°．
（1）求BC的长；
（2）如图2，等边△MNP的边长为1，它的一边MP在边AD上，且顶点M与A重合．现将△MNP在梯形的外面沿边AD-DC-CB进行翻滚，翻滚到有一个顶点与B重合即停止滚动．
①请在所给的图中，画出点M在△MNP整个翻滚过程中所经过路线的示意图；
②求△MNP在整个翻滚过程中点M所经过的路线与梯形ABCD的三边AD、DC、CB所围成图形的面积S．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据AB∥CD，得出∠ACD=∠BAC=30°，根据∠BAC=30°得出∠DAC=30°，从而求得∠DAC=∠ACD，得出AD=BC=3；
（2）根据总结的翻转角度和翻转半径，求出圆弧与梯形的边长围成的扇形的面积即可．

解答：解：（1）∵∠BAD=60°，∠BAC=30°，
∴∠DAC=30°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC=30°，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=DC=3，
∵等腰梯形ABCD中，AD=BC，
∴BC=3；

（2）①如图2所示
②围成的图形的面积：6个圆心角为120°半径为1的扇形，
所以点M所经过的路线与梯形ABCD的三边AD、DC、CB所围成图形的面积S为：6×

120π×12

360

=2π．

点评：本题考查了扇形的面积的计算、等腰梯形的性质、弧长的计算，是一道不错的综合题，解题的关键是正确地得到点A的翻转角度和半径．