Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，cosB=$\frac{3}{5}$，将△ABC绕着点A旋转得△ADE，点B的对应点D落在边BC上，联结CE，那么CE的长是$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 先利用余弦定义计算出BC=5，再利用勾股定理计算出AC=4，接着根据旋转的性质得AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，利用三角形内角和定理易得∠ACE=∠B，作AH⊥CE于H，由等腰三角形的性质得EH=CH，如图，在Rt△ACH中，利用cos∠ACH=$\frac{CH}{AC}$=$\frac{3}{5}$可计算出CH=$\frac{3}{5}$AC=$\frac{12}{5}$，所以CE=2CH=$\frac{24}{5}$．

解答 解：∵∠BAC=90°，AB=3，cosB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{3}{5}$，
∴BC=5，
∴AC=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵△ABC绕着点A旋转得△ADE，点B的对应点D落在边BC上，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，
∵∠B=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAD），∠ACE=$\frac{1}{2}$（180°-∠CAE），
∴∠ACE=∠B，
∴cos∠ACE=cosB=$\frac{3}{5}$，
作AH⊥CE于H，则EH=CH，如图，
在Rt△ACH中，∵cos∠ACH=$\frac{CH}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
∴CH=$\frac{3}{5}$AC=$\frac{12}{5}$，
∴CE=2CH=$\frac{24}{5}$．
故答案为$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是证明∠ACE=∠B．