题目内容

2．如图（1），AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的数量关系，并说明理由．
①读下列过程，并填写理由．
解：猜想∠BPD+∠B+∠D=360°．
理由：过点P作EF∥AB．
∴∠B+∠BPE=180°．（两直线平行，同旁内角互补）
∵AB∥CD（已知），EF∥AB（辅助线的作法）．
∴CD∥EF．（平行线公理的推论）
∴∠EPD+∠CDP=180°．
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°．
∴∠B+∠BPD+∠D=360°．
②仿照上面的解题方法，观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系，并说明理由．
③观察图（3）和图（4），已知AB∥CD，直接写出图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系，不必说明理由．

分析 ①根据平行线的性质得到的∠B+∠BPE=180°，∠EPD+∠CDP=180°．等量代换即可得到结论；
②首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可得∠1=∠B，∠2=∠D，则可求得∠BPD=∠B+∠D．
③由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得∠BPD与∠B、∠D的关系．

解答 解：①猜想∠BPD+∠B+∠D=360°．
理由：过点P作EF∥AB．
∴∠B+∠BPE=180°．（两直线平行，同旁内角互补）
∵AB∥CD（已知），EF∥AB（辅助线的作法）．
∴CD∥EF．（平行线公理的推论）
∴∠EPD+∠CDP=180°．
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°．
∴∠B+∠BPD+∠D=360°．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补，平行线公理的推论；
②∠BPD=∠B+∠D．
理由：如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠1=∠B，∠2=∠D，
∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D；
③如图（3）：∠BPD=∠D-∠B．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1=∠D，
∵∠1=∠B+∠P，
∴∠D=∠B+∠P，
即∠BPD=∠D-∠B；
如图（4）：∠BPD=∠B-∠D．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1=∠B，
∵∠1=∠D+∠P，
∴∠B=∠D+∠P，
即∠BPD=∠B-∠D．

点评 此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用，注意辅助线的作法．

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