题目内容
【题目】一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果被分割的两个三角形相似，我们被称为该对角线为相似对角线．
（1）如图1，正方形
的边长为4，E为
的中点，
，连结
.
，求证：
为四边形
的相似对角线．
（2）在四边形中，
，
，
，
平分
，且是四边形的相似对角线，求
的长．
（3）如图2，在矩形中，
，
，点E是线段
（不取端点A.B）上的一个动点，点F是射线上的一个动点，若是四边形的相似对角线，求
的长．（直接写出答案）
【答案】（1）见解析（2）
或
；（3）
或
或3
【解析】
（1）根据已知中相似对角线的定义，只要证明△AEF∽△ECF即可；
（2）AC是四边形ABCD的相似对角线，分两种情形：△ACB
△ACD或△ACB△ADC，分别求解即可；
（3）分三种情况①当△AEF和△CEF关于EF对称时，EF是四边形AECF的相似对角线．②取AD中点F，连接CF，将△CFD沿CF翻折得到△CFD′，延长CD′交AB于E，则可得出 EF是四边形AECF的相似对角线．③取AB的中点E，连接CE，作EF⊥AD于F，延长CB交FE的延长线于M，则可证出EF是四边形AECF的相似对角线．此时BE=3；
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，
∵E为
的中点，
，
∴AE=DE=2，
∵∠A=∠D=90°，
∴△AEF∽△DCE，
∴∠AEF=∠DCE，
∵∠DCE+∠CED=90°，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∴∠FEC=∠A=90°，
∴△AEF∽△ECF，
∴EF为四边形AECF的相似对角线．
（2）∵
平分
，
∴∠BAC=∠DAC =60°
∵AC是四边形ABCD的相似对角线，
∴△ACB△ACD或△ACB△ADC
①如图2，当△ACB△ACD时，此时，△ACB≌△ACD
∴AB=AD=3，BC=CD，
∴AC垂直平分DB，
在Rt△AOB中，∵AB=3，∠ABO=30°，
②当△ACB△ADC时，如图3
∴∠ABC=∠ACD
∴AC2=ABAD，
∵
,
∴6=3AD，
∴AD=2，
过点D作DHAB于H
在Rt△ADH中，∵∠HAD=60°，AD=2，
在Rt△BDH中，
综上所述，
的长为：或
（3）①如图4，当△AEF和△CEF关于EF对称时，EF是四边形AECF的相似对角线，
设AE=EC=x，
在Rt△BCE中，∵EC2=BE2+BC2，
∴x2=（6-x）2+42，
解得x=
，
∴BE=AB-AE=6-=．
②如图5中，如图取AD中点F，连接CF，将△CFD沿CF翻折得到△CFD′，延长CD′交AB于E，则 EF是四边形AECF的相似对角线．
∵△AEF∽△DFC，
∴
③如图6，取AB的中点E，连接CE，作EF⊥AD于F，延长CB交FE的延长线于M，则EF是四边形AECF的相似对角线．则 BE=3．
综上所述，满足条件的BE的值为或或3．
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【题目】一家蔬菜公司计划到某绿色蔬菜基地收购A，B两种蔬菜共140吨，预计两种蔬菜销售后获利的情况如下表所示：
销售品种 | A种蔬菜 | B种蔬菜 |
每吨获利(元) | 1200 | 1000 |
其中A种蔬菜的5%，B种蔬菜的3%须运往C市场销售，但C市场的销售总量不超过5.8吨．设销售利润为W元(不计损耗)，购进A种蔬菜x吨．
（1）求W与x之间的函数关系式；
（2）将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得多少利润？
（3）由于受市场因素影响，公司进货时调查发现，A种蔬菜每吨可多获利100元，B种蔬菜每吨可多获利m(200＜m＜400)元，但B种蔬菜销售数量不超过90吨．公司设计了一种获利最大的进货方案，销售完后可获利179000元，求m的值．
