Question

9．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB边的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．
（1）求证：EF=AB；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（3）若AB=2$\sqrt{3}$，求△AEG的周长．

Answer 1

分析 （1）由SAS证明△ABC≌△EFA，即可得出EF=AB；
（2）证出EF=AB，AE=DF，即可得出结论；
（3）由平行四边形的性质得出AG=FG=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由勾股定理得出AE=AC=$\sqrt{3}$BC=3，EG=$\sqrt{A{E}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{9+\frac{9}{4}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，即可得出△AEG的周长．

解答 （1）证明：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC=60°，AE=AC，
∵∠BAC=30°，
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，
∵F为AB的中点，
∴BF=AF，AB=2AF，
∴BC=AF，在△△EFA和△ABC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}&{\;}\\{∠FEA=∠ACB}&{\;}\\{AF=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EFA≌△ABC（SAS），
∴EF=AB；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
∵BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
∴AE=DF，
∵FE=AB，
∴四边形ADFE为平行四边形；
（3）解：∵F为AB边的中点，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
∵四边形ADFE是平行四边形；
∴AG=FG=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
∴AE=AC=$\sqrt{3}$BC=3，
∵∠FAE=90°，
∴EG=$\sqrt{A{E}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{9+\frac{9}{4}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴△AEG的周长=AE+EG+AG=3+$\frac{3\sqrt{5}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理以及全等三角形的判定和性质；本题综合性强，有一定难度．