题目内容
如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD.
（1）求直线AB的解析式；
（2）当点P运动到点（
,0）时，求此时DP的长及点D的坐标；
（3）是否存在点P,使△OPD的面积等于
,若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）如图，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x 轴于点F.由已知得
BF=OE=2, OF= 
= 
∴点B的坐标是( ，2)
设直线AB的解析式是y=kx+b，则有
解得 
∴直线AB的解析式是y= 
x+4
(2) 如图，∵△ABD由△AOP旋转得到，
∴△ABD≌△AOP， ∴AP=AD， ∠DAB=∠PAO，∴∠DAP=∠BAO=600，
∴△ADP是等边三角形，
∴DP=AP=
如图，过点D作DH⊥x 轴于点H，延长EB交DH于点G,则BG⊥DH.
方法（一）
在Rt△BDG中，∠BGD=900, ∠DBG=600.
∴BG=BD•cos600=
×
=
.
DG=BD•sin600=×=
.
∴OH=EG=
, DH=
∴点D的坐标为( , )
方法（二）
易得∠AEB=∠BGD=900，∠ABE=∠BDG， ∴△ABE∽△BDG，
∴ 
而AE=2, BD=OP= ， BE=2, AB=4,则有
，解得BG= ，DG= ∴OH= , DH=
∴点D的坐标为(, )
(3)假设存在点P, 在它的运动过程中,使△OPD的面积等于
.
设点P为（t，0），下面分三种情况讨论:
①当t＞0时，如图，BD=OP=t, DG=t,
∴DH=2+t. ∵△OPD的面积等于 ，
∴ 
，
解得
, 
( 舍去) .
∴点P1的坐标为 (
, 0 )
②当
＜t≤0时，如图，BD=OP=－t, BG=－t,
∴DH=GF=2－（－t）=2+t.
∵△OPD的面积等于，
∴ 
，
解得 
, 
.
∴点P2的坐标为(, 0)，点P3的坐标为(
, 0).
③当t≤ 时，如图，BD=OP=－t, DG=－t,
∴DH=－t－2.
∵△OPD的面积等于 ，
∴ ，
解得 (舍去),
∴点P4的坐标为(
, 0)
综上所述,点P的坐标分别为P1 (
, 0)、P2 (
, 0)、P3 ( , 0) 、
P4 (
, 0)
名校课堂系列答案
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（2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是
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