Question

13．抛物线y=x²+bx+c的顶点坐标为P，过P分别作PA、PB垂直于x轴、y轴，垂足为A，B，若b²=2c，b≤2，比较线段OB与OA的大小．

Answer 1

分析 根据顶点坐标公式，可得P点坐标，根据作商法，可得答案．

解答 解：y=x²+bx+c的顶点坐标为P，P（$\frac{b}{2}$，$\frac{4c-{b}^{2}}{4}$）．
由b²=2c，得4c=2b²，
即P点坐标为（$\frac{b}{2}$，$\frac{{b}^{2}}{4}$）．
如图，过P分别作PA、PB垂直于x轴、y轴，垂足为A，B，得
OA=|$\frac{b}{2}$|，OB=$\frac{{b}^{2}}{4}$．
①当0＜b≤2时$\frac{OA}{OB}$=$\frac{b}{2}$÷$\frac{{b}^{2}}{4}$=$\frac{2}{b}$≤1，即OA≤OB；
②当-2≤b＜0时，$\frac{OA}{OB}$=-$\frac{b}{2}$÷$\frac{{b}^{2}}{4}$=-$\frac{2}{b}$≥1，即OA≥OB；
③当b＜-2时，$\frac{OA}{OB}$=-$\frac{b}{2}$÷$\frac{{b}^{2}}{4}$=-$\frac{2}{b}$＜1，即OA＜OB；

点评 本题考查了二次函数的性质，利用顶点坐标公式得出P点坐标为（$\frac{b}{2}$，$\frac{{b}^{2}}{4}$）是解题关键，又利用了作商法比较数的大小，要分类讨论，以防遗漏．