Question

【题目】如图1，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，将△ABC沿着射线AB平移得到△A′B′C′，当点A′与点B重合时停止运动．设平移距离为m，△A′B′C′与△ABO重合部分的面积为S，S关于m的函数图象如图2所示．（其中0≤m≤时，函数的解析式不同）

（1）填空：a＝　 　；

（2）求直线AB的解析式；

（3）求S关于m的解析式，并写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）y＝﹣x+4；（3）S＝．

【解析】

（1）根据图形平移距离m=AB=，当m=0时图象的面积即是三角形ABC的面积，由此即可求出a的值；

（2）根据函数图象发生变化时是直线AC过点O，由此得到HA＝m＝，再求出BH，根据射影定理求出OA，再求出OB，得到点A、B的坐标即可求出直线AB的解析式；

（3）分两种情况：①当0≤m≤时，②当＜m≤时，求S关于m的解析式

（1）从图2可得：AB＝2，

m＝0时，图象没有平移，则此时a＝S△ABC＝AB2＝10，

故答案为：10；

（2）过点O作，

当边AC过点O时，S的表达式发生变化，此时边AC移动到HC′所处的位置，

则HA＝m＝，BH＝AB﹣AH＝，

而OH2＝HAHB＝，则OA＝2，

而AB2＝20，故OB＝4，则点A、B的坐标分别为：（2，0）、（0，4），

将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线AB的表达式为：y＝﹣x+4；

（3）①当0≤m≤时，

如图1左图所示，设边A′C′交x轴于点H，

则A′H＝AA′tanβ，

S＝S四边形BA′HO＝S△ABO﹣S△AA′H＝OA×OB﹣A′A×A′H＝×m2×＝﹣m2，

当m＝时，S＝＝b，

②当＜m≤时，

如图1右图所示，设边A′C′交y轴于点G，

S＝S△A′BG＝×A′B×A′G＝×AB′2×tanα＝×（﹣m）2＝（﹣m）2；

综上，S＝.