Question

【题目】综合与探究

如图，抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，DC，

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求的值；

(3)在(2)的条件下，若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)3；(3).

【解析】

(1)利用待定系数法进行求解即可；

(2)作直线DE⊥轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F，先求出S△OAC=6，再根据S△BCD=S△AOC，得到S△BCD =，然后求出BC的解析式为，则可得点G的坐标为，由此可得，再根据S△BCD=S△CDG+S△BDG=，可得关于m的方程，解方程即可求得答案；

(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，以BD为边时，有3种情况，由点D的坐标可得点N点纵坐标为±，然后分点N的纵坐标为和点N的纵坐标为两种情况分别求解；以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM1=N1D=4，继而求得OM1= 8，由此即可求得答案.

(1)抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)，

∴，

解得，

∴抛物线的函数表达式为；

(2)作直线DE⊥轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F，

∵点A的坐标为(-2,0)，∴OA=2，

由，得，∴点C的坐标为(0,6)，∴OC=6，

∴S△OAC=，

∵S△BCD=S△AOC，

∴S△BCD =，

设直线BC的函数表达式为，

由B，C两点的坐标得，解得，

∴直线BC的函数表达式为，

∴点G的坐标为，

∴，

∵点B的坐标为(4,0)，∴OB=4，

∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=，

∴S△BCD =，

∴，

解得(舍)，，

∴的值为3；

(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，

以BD为边时，有3种情况，

∵D点坐标为，∴点N点纵坐标为±，

当点N的纵坐标为时，如点N2，

此时，解得：(舍)，

∴，∴；

当点N的纵坐标为时，如点N3，N4，

此时，解得：

∴，，

∴，；

以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，

∵，D(3，)，

∴N1D=4，

∴BM1=N1D=4，

∴OM1=OB+BM1=8，

∴M1(8，0)，

综上，点M的坐标为：.