Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处，如果A′恰在矩形的对角线上，则AE的长为_____．

Answer 1

【答案】3或．

【解析】

由勾股定理求得BD，当点A′在BD上时，设AE=x，由翻折的性质得：EA′=AE=x，BA′=AB=3，则由勾股定理求得AE；当点A′在AC上时，由射影定理求得AG，由三角形相似的判定定理证得△AEG∽△ACD，根据相似三角形的性质求得AE．

∵矩形ABCD，

∴∠A＝90°，BD＝＝＝10，

当A′在BD上时，如图1所示：

设AE＝x，

由翻折的性质得：EA′＝AE＝x，BA′＝AB＝6，

∴ED＝8﹣x，∠EFD＝∠A＝90°，

∴A′D＝10﹣6＝4，

在Rt△EA′D中，

x2+42＝（8﹣x）2，

解得：x＝3，

∴AE＝3；

当点A′在AC上时，如图2所示：

由翻折的性质得：BE垂直平分AA′，AC＝10，

由射影定理得：AB2＝AGAC，

∴AG＝，

∵∠AGE＝∠D＝90°，∠EAG＝∠CAD，

∴△AEG∽△ACD，

＝，即＝，

∴AG＝AE＝，

∴AE＝．

∴AE的长为3或．

故答案为3或．