Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系xOy中，函数（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点.

（1）求∠OCD的度数；

（2）如图2，连接OQ、OP，当∠DOQ=∠OCD-∠POC时，求此时m的值；

（3）如图3，点A，点B分别在x轴和y轴正半轴上的动点.再以OA、OB为邻边作矩形OAMB.若点M恰好在函数（m为常数，m＞1，x＞0）的图象上，且四边形BAPQ为平行四边形，求此时OA、OB的长度.

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）；（3）

【解析】

（1）由点坐标可得点D、C的坐标，可得OC，OD的长，证明为等腰直角三角形，所以∠OCD的度数为45°；（2）因为，所以，即∠QOP=45°，由勾股定理得，，，解得；（3）由四边形ABPQ为平行四边形，可得，即，所以OA=OB，设OA=OB=n，则M为（n，n）代入，得，所以，根据AB=PQ列式得，，由①②得，，即当OA=OB=时，符合题意；

解：

（2）∵，

∴，

∴，

易得，

∴，

解得；

（3）∵四边形ABPQ为平行四边形，

∴，

∴，

∴OA=OB，

设OA=OB=n，

则M为（n，n）代入，

∴，

∴，

又AB=PQ，

∴，

由①②得，；

∴当OA=OB=时，符合题意；