题目内容

7．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过原点O，与x轴相交于点B（-4，0），顶点为D，直线y=-x与二次函数的图象交于点A（m，8），直线AD交x轴于点E，交y轴于点F．
（1）求m的值及二次函数的解析式；
（2）求tan∠AEB的值；
（3）点P是射线OA上的动点（点P与点A、O不重合），过点P作y轴的平行线交二次函数的图象于点M，问：是否存在点P，使以P、A、M为顶点的三角形与△AOF相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

分析 （1）先由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过原点O，得出c=0，则y=ax2+bx．再求出A点坐标，然后将点A、点B的坐标代入y=ax2+bx，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）先利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，求出顶点D的坐标，再利用待定系数法求出直线AD的解析式，进而求出E点坐标，然后作AG⊥x轴于G，在直角△AGE中利用正切函数的定义即可求出tan∠AEB的值；
（3）设点P的坐标为（x，-x），则点M的坐标为（x，$\frac{1}{4}$x2+x）．分两种情况进行讨论：①当-8＜x＜0时，如果△APM∽△AOF，显然点M与点D重合，易求点P的坐标为（-2，2）；如果△APM∽△FOA，根据相似三角形对应边的比相等得到$\frac{PM}{OA}$=$\frac{AP}{FO}$，即$\frac{-x-\frac{1}{4}{x}^{2}-x}{8\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}（x+8）}{4}$，解方程即可；②当x＜-8时，由于∠APM=∠FOA=135°，∠MAP＞∠OAF，所以只能△APM∽△FOA，根据相似三角形对应边的比相等列出方程，即可求解．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过原点O，
∴c=0，
∴y=ax2+bx．
∵直线y=-x过点A（m，8），
∴8=-m，m=-8，
∴A（-8，8）．
∵二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象过点A（-8，8），B（-4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{64a-8b=8}\\{16a-4b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=$\frac{1}{4}$x2+x；

（2）∵y=$\frac{1}{4}$x2+x=$\frac{1}{4}$（x+2）2-1，
∴顶点D的坐标为（-2，-1）．
设直线AD的解析式为y=mx+n，
∵A（-8，8），D（-2，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-8m+n=8}\\{-2m+n=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{2}}\\{n=-4}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x-4，
∴y=0时，-$\frac{3}{2}$x-4=0，解得x=-$\frac{8}{3}$，
∴E点坐标为（-$\frac{8}{3}$，0）．
作AG⊥x轴于G，则AG=8，EG=-$\frac{8}{3}$-（-8）=$\frac{16}{3}$，
∴tan∠AEB=$\frac{AG}{EG}$=$\frac{8}{\frac{16}{3}}$=$\frac{3}{2}$；
（3）设点P的坐标为（x，-x），则点M的坐标为（x，$\frac{1}{4}$x2+x）．
分两种情况讨论：
①当-8＜x＜0时，
如果△APM∽△AOF，那么点M与点D重合，此时x=-2，则点P的坐标为（-2，2）；
如果△APM∽△FOA，那么$\frac{PM}{OA}$=$\frac{AP}{FO}$，即$\frac{-x-\frac{1}{4}{x}^{2}-x}{8\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}（x+8）}{4}$，
整理得x2+24x+128=0，
解得x1=-16，x2=-8，均不合题意舍去；
②当x＜-8时，
∵∠APM=∠FOA=135°，∠MAP＞∠OAF，
∴只能△APM∽△FOA，
∴$\frac{PM}{OA}$=$\frac{AP}{FO}$，即$\frac{\frac{1}{4}{x}^{2}+x-（-x）}{8\sqrt{2}}$=$\frac{-\sqrt{2}（x+8）}{4}$，
整理得x2+24x+128=0，
解得x1=-16，x2=-8（不合题意舍去），
∴点P的坐标为（-16，16）；
综上所述，所求点P的坐标为（-2，2）或（-16，16）．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．

练习册系列答案
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