Question

2．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点
求证：四边形EGFH是菱形．

Answer 1

分析 由已知条件得出GF是△ADC的中位线，GE是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出GF∥EH，GF=EH，得出四边形EGFH是平行四边形，再证出GE=EH，即可得出结论．

解答 证明：∵点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，
∴GF是△ADC的中位线，GE是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，
∴GF∥AD，GF=$\frac{1}{2}$AD，GE=$\frac{1}{2}$BC，EH∥AD，EH=$\frac{1}{2}$AD，
∴GF∥EH，GF=EH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
又∵AD=BC，
∴GE=EH，
∴四边形EGFH是菱形．

点评 本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定方法；熟练掌握菱形的判定方法，由三角形中位线定理得出线段之间的关系是解决问题的关键．