Question

8．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．

（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC．
（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，再根据∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP进行计算即可；
（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，进而得到∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK+∠DCK=$\frac{1}{2}$∠BAP+$\frac{1}{2}$∠DCP=$\frac{1}{2}$（∠BAP+∠DCP）=$\frac{1}{2}$∠APC，进而得到∠AKC=$\frac{1}{2}$∠APC；
（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，进而得到∠AKC=∠AKE-∠CKE=∠BAK-∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP-∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK-∠DCK=$\frac{1}{2}$∠BAP-$\frac{1}{2}$∠DCP=$\frac{1}{2}$（∠BAP-∠DCP）=$\frac{1}{2}$∠APC，进而得到∠AKC=$\frac{1}{2}$∠APC．

解答 解：（1）如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°；

（2）∠AKC=$\frac{1}{2}$∠APC．
理由：如图2，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，
∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴∠BAK+∠DCK=$\frac{1}{2}$∠BAP+$\frac{1}{2}$∠DCP=$\frac{1}{2}$（∠BAP+∠DCP）=$\frac{1}{2}$∠APC，
∴∠AKC=$\frac{1}{2}$∠APC；

（3）∠AKC=$\frac{1}{2}$∠APC．
理由：如图3，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，
∴∠AKC=∠AKE-∠CKE=∠BAK-∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC=∠BAP-∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴∠BAK-∠DCK=$\frac{1}{2}$∠BAP-$\frac{1}{2}$∠DCP=$\frac{1}{2}$（∠BAP-∠DCP）=$\frac{1}{2}$∠APC，
∴∠AKC=$\frac{1}{2}$∠APC．

点评 本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算．