Question

在△ABC中，AD是过A的一条射线，交BC于D，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F．
（1）若M是BC中点．求证：FM=EM；
（2）若∠BAC=90°，AB=AC，线段BE、CF、EF之间存在确定的数量关系吗？试证明你的结论；
（3）当AD在△ABC的外部时，在（1）的条件下，（1）中的结论还存在吗？
（4）当AD在△ABC的外部时，在（2）的条件下，（2）中的结论还存在吗？试证明你的猜想．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接EM，延长CF与EM交于N，易证∠EBM=∠NCM，即可证明△BME≌△CNM，可得ME=MN，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得MF=

1

2

NE，即可解题；
（2）易证∠ABE=∠CAF，即可证明△BAE≌△CAF，可得AF=BE，AE=CF，根据AF=AE+EF即可解题；
（3）连接EM，延长CF与EM交于N，易证∠EBM=∠NCM，即可证明△BME≌△CNM，可得ME=MN，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得MF=

1

2

NE，即可解题；
（4）易证∠ABE=∠CAF，即可证明△BAE≌△CAF，可得AF=BE，AE=CF，根据EF=AE+AF即可解题．

解答：证明：（1）连接EM，延长CF与EM交于N，

∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CF，
∴∠EBM=∠NCM，
∵在△BME和△CNM中，

∠EMB=∠NMC BM=CM ∠EBM=∠NCM

，
∴△BME≌△CNM，（ASA）
∴ME=MN，
∵RT△EFN中，MF=

1

2

NE，
∴MF=ME；
（2）BE=CF+EF，
理由：∵∠BAE+∠CAF=90°，∠BAE+ABE=90°，
∴∠ABE=∠CAF，
∵在△BAE和△CAF中，

∠BEA=∠CFA=90° ∠ABE=∠CAF AB=AC

，
∴△BAE≌△CAF，（AAS）
∴AF=BE，AE=CF，
∵AF=AE+EF，
∴BE=CF+EF；
（3）还存在，
理由：如图，连接EM，延长CF与EM交于N，

∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CF，
∴∠EBM=∠NCM，
∵在△BME和△CNM中，

∠EMB=∠NMC BM=CM ∠EBM=∠NCM

，
∴△BME≌△CNM，（ASA）
∴ME=MN，
∵RT△EFN中，MF=

1

2

NE，
∴MF=ME；
（4）不存在，新结论为BE+CF=EF．
理由：如图，

∵∠BAE+∠CAF=90°，∠BAE+ABE=90°，
∴∠ABE=∠CAF，
∵在△BAE和△CAF中，

∠BEA=∠CFA=90° ∠ABE=∠CAF AB=AC

，
∴△BAE≌△CAF，（AAS）
∴AF=BE，AE=CF，
∵EF=AE+AF，
∴EF=CF+BE．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BME≌△CNM和△BAE≌△CAF是解题的关键．