Question

20．如图，四边形ABCD中，∠ADB=30°，AB∥CD，BD=BC，AC=CD，求证：∠DBC=90°．

Answer 1

分析 过A作AE⊥CD交CD于点E，过B作BF⊥CD交CD于点F，则AE∥BF，由DC∥AB易得AE=BF，由BD=BC，BF⊥CD，CD=AC，利用等腰三角形的“三线合一”可得DF=CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}AC$，由平行线的性质和30°直角三角形的性质可得AE=$\frac{1}{2}$AC，易得AE=DF，可得BF=DF，有三角形的内角和定理和等腰三角形的性质可得∠BDC=45°，易得结论．

解答 证明：过A作AE⊥CD交CD于点E，过B作BF⊥CD交CD于点F，则AE∥BF，
∵DC∥AB，
∴AE=BF；
∵BD=BC，BF⊥CD，CD=AC，
∴DF=CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}AC$，
∵∠ADB=30°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC，
∴AE=DF，
∴BF=DF，
∴∠FBD=∠BDF=45°，
∴∠BCD=45°，
∴∠CBD=90°．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质，30°直角三角形的性质，平行线之间的距离处处相等的性质和三角形内角和定理，准确作出辅助线是解题的关键．