Question

6．如图，AB是⊙O的直径，AM、BN是⊙O的切线，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C．
（1）求证：∠DOC=90°；
（2）如果OD=3cm，OC=4cm，求⊙O的直径AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据切线长定理得到OD平分∠ADE，OC平分∠BCE，即∠ODC=∠ADC，∠OCD=∠BCD，再根据切线的性质AB⊥AM，AB⊥BN，则AM∥BN，利用平行线的性质得∠ADC+∠BCD=180°，所以∠ODC+∠OCD=90°，则根据三角形内角和可就是出∠DOC=90°；
（2）连接OE，如图，利用勾股定理可就是出CD=5，再根据切线长定理得到OE⊥DC，则利用面积法克就是出OE，从而得到AB的长．

解答 （1）证明：∵AM、BN是⊙O的切线，DE切⊙O于E，
∴OD平分∠ADE，OC平分∠BCE，
∴∠ODC=∠ADC，∠OCD=∠BCD，
∵AM、BN是⊙O的切线，
∴AB⊥AM，AB⊥BN，
∴AM∥BN，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠ODC+∠OCD=90°，
∴∠DOC=90°；
（2）解：连接OE，如图，在Rt△OCD中，∵OD=3，OC=4，
∴CD=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵DE切⊙O于E，
∴OE⊥DC，
∵OE•CD=OD•OC，
∴OE=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴AB=2OE=$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．