Question

16．已知，BC∥OA，∠B=∠A=108°，试解答下列问题：
（1）如图①，则∠O=72°，则OB与AC的位置关系为平行
（2）如图②，若点E、F在线段BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．则∠EOC的度数等于36°；
（3）在第（2）题的条件下，若平行移动AC到如图③所示位置．
①在AC移动的过程中，∠OCB与∠OFB的比值是否发生改变，若不改变求出其比值，若要改变说明理由；
②当∠OEB=∠OCA时，求∠OCA．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得出∠B+∠O=180°，求出∠O=72°，求出∠O+∠A=180°，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据角平分线定义求出∠EOC=$\frac{1}{2}∠BOA$=36°，即可得出答案；
（3）①不变，求出∠OFB=2∠OCB，即可得出答案；
②设∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β，求出∠OCA=∠BOC=2α+β，α=β=18°，即可得出答案．

解答 解：（1）∵BC∥OA，
∴∠B+∠O=180°，
∵∠B=108°，
∴∠O=72°，
∵∠A=108°，
∴∠O+∠A=180°，
∴OB∥AC，
故答案为：72°，平行；

（2）∵∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF，∠BOA=72°，
∴∠EOC=∠EOF+∠FOC=$\frac{1}{2}$∠BOF+$\frac{1}{2}$∠FOA=$\frac{1}{2}∠BOA$=36°，
故答案为：36°；

（3）①不变，
∵BC∥OA，
∴∠OCB=∠AOC，
又∵∠FOC=∠AOC，
∴∠FOC=∠OCB，
又∵BC∥OA，
∴∠OFB=∠FOA=2∠FOC，
∴∠OFB=2∠OCB，
即∠OCB：∠OFB=1：2．
即∠OCB与∠OFB的比值为$\frac{1}{2}$；

②由（1）知：OB∥AC，
∴∠OCA=∠BOC，
由（2）可以设：∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β，
∴∠OCA=∠BOC=2α+β
由（1）知：BC∥OA，
∴∠OEB=∠EOA=α+β+β=α+2β
∵∠OEB=∠OCA
∴2α+β=α+2β
∴α=β
∵∠AOB=72°，
∴α=β=18°
∴∠OCA=2α+β=36°+18°=54°．

点评 本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．