Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；
（3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题

分析：（1）利用待定系数法即可求得；
（2）如答图1，四边形ABPC由△ABC与△PBC组成，△ABC面积固定，则只需要使得△PBC面积最大即可．求出△PBC面积的表达式，然后利用二次函数性质求出最值；
（3）如答图2，DE为线段AC的垂直平分线，则点A、C关于直线DE对称．连接AM，与DE交于点G，此时△CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小，故点G为所求．分别求出直线DE、AM的解析式，联立后求出点G的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．
∴

a-b+c=0 4a+2b+c=0 c=2

，解得

a=-1 b=1 c=2

，
∴这条抛物线的解析式为：y=-x²+x+2．

（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，将B（2，0）、C（0，2）代入得：

2k+b=0 b=2

，解得

k=-1 b=2

，
∴直线BC的解析式为：y=-x+2．
如答图1，连接BC．
四边形ABPC由△ABC与△PBC组成，△ABC面积固定，则只需要使得△PBC面积最大即可．
设P（x，-x²+x+2），
过点P作PF∥y轴，交BC于点F，则F（x，-x+2）．
∴PF=（-x²+x+2）-（-x+2）=-x²+2x．
S_△PBC=S_△PFC+S_△PFB=

1

2

PF（x_F-x_C）+

1

2

PF（x_B-x_F）=

1

2

PF（x_B-x_C）=PF
∴S_△PBC=-x²+2x=-（x-1）²+1
∴当x=1时，△PBC面积最大，即四边形ABPC面积最大．此时P（1，2）．
∴当点P坐标为（1，2）时，四边形ABPC的面积最大．

（3）存在．
∵∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠AED=90°，
∴∠ACO=∠AED，又∵∠CAO=∠CAO，
∴△AOC∽△ADE，
∴

AE

AC

=

AD

AO

，即

AE

5

=

5 2

1

，解得AE=

5

2

，
∴E（

3

2

，0）．
∵DE为线段AC的垂直平分线，
∴点D为AC的中点，∴D（-

1

2

，1）．
可求得直线DE的解析式为：y=-

1

2

x+

3

4

 ①．
∵y=-x²+x+2=-（x-

1

2

）²+

9

4

，∴M（

1

2

，

9

4

）．
又A（-1，0），则可求得直线AM的解析式为：y=

3

2

x+

3

2

 ②．
∵DE为线段AC的垂直平分线，
∴点A、C关于直线DE对称．
如答图2，连接AM，与DE交于点G，
此时△CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小，故点G为所求．
联立①②式，可求得交点G的坐标为（-

3

8

，

15

16

）．
∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，点G的坐标为（-

3

8

，

15

16

）．

点评：本题是二次函数综合题，难度适中，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、相似三角形、轴对称-最短路线、图形面积计算、最值等知识点．