Question

8．△ABC与△CDE是共顶点的等边三角形．直线BE与直线AD交于点M，点D、E不在△ABC的边上．
（1）当点E在△ABC外部时（如图1），写出AD与BE的数量关系．
（2）若CD＜BC，将△CDE绕着点C逆时针旋转，使得点E由△ABC的外部运动到△ABC的内部（如图2）．在这个运动过程中，∠AMB的大小是否发生变化？若不变，在图2的情况下求出∠AMB的度数，若变化，说明理由．
（3）如图3，当B、C、D三点在同一条直线上，且BC=CD时，写出BM，ME与BC之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出∠ACB=∠DCE，转化出∠BCE=∠ACD，从而得出△BCE≌△ACD即可；
（2）由等边三角形的性质得出∠ACB=∠DCE，转化出∠BCE=∠ACD，从而得出△BCE≌△ACD得出∠EBC=∠DAC，再利用三角形的内角和即可；
（3）先判断出∠BFC=90°，接着判断出BE=2BF，利用勾股定理找出BF与BC的关系即可．

解答 解：（1）AD=BE，
理由：
∵△ABC与△CDE是共顶点的等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD；
（2）不变，∠AMB=60°，
理由：∵△ABC与△CDE是共顶点的等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△ADC，
∴∠EBC=∠DAC，
∵∠EBC+∠ABM=60°
∴∠MAC+∠ABM=60°，
∴∠AMB=180°-（∠ABM+∠BAM）=60°．
（3）如图3，

∵当B、C、D三点在同一条直线上，
∴∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACE=60°，
∴∠BCE=120°，
∵△ABC与△CDE是共顶点的等边三角形，且BC=CD，
∴BC=CE，
∴∠CBE=∠BEC=30°，
∵∠BCF=60°，
∴∠BFC=90°，
∵BC=EC，
∴BE=2BF，
在Rt△BFC中，∠BCF=30°，
∴BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，
∴BE=2BF=$\sqrt{3}$BC，
∵BE=BM+ME，
∴BM+ME=$\sqrt{3}$BC．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，勾股定理，解本题的关键是判断出△BEC≌△ADC．