Question

3．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在CD、BC延长线上，AE∥BD，EF⊥BF．
（1）求证：四边形 ABDE是平行四边形；
（2）若∠ABC=60°，$CF=\sqrt{6}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）由在平行四边形ABCD中，AB∥DC，可得AB∥DE，又由AE∥BD，即可证得四边形 ABDE是平行四边形；
（2）由（1）易得EC=2AB，又由∠ABC=60°，可求得∠ECF=60°，然后由EF⊥BF，证得EC=2CF，即可得AB=CF，求得答案．

解答 （1）证明：如图，在?ABCD中，AB∥DC，
∵点E在CD的延长线上，
∴AB∥DE，
又∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；

（2）解：在?ABCD中，AB=DC，在?ABDE中，AB=ED，
∴EC=2AB
∵AB∥DC，∠ABC=60°．
∴∠ECF=∠ABC=60°．
∵EF⊥BF，
∴∠CEF=90°-∠ECF=30°，
∴EC=2CF，
∴AB=$\frac{1}{2}$EC=CF=$\sqrt{6}$．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质以及含30°的直角三角形的性质．注意利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形定理的应用是解此题的关键．