Question

4．已知点A（2，3），B（5，9），在x轴上找一点C，使AC+BC最小并求出最小值．

Answer 1

分析 首先找出点A关于x轴的对称点A′的坐标，然后求得直线A′B的解析式，令y=0可求点C的横坐标，然后利用两点间的距离公式求得线段A′B的长度即可得出AC+BC的最小值．

解答 解：点A关于x轴的对称点A′的坐标为（2，-3）．
设直线A′B的解析式y=kx+b（k≠0），
将点A′（2，-3）和B（5，9）的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-3}\\{5k+b=9}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{b=-11}\end{array}\right.$
所以直线A′B的解析式为：y=4x-11．
令y=0，解得x=$\frac{11}{4}$
所以点C的坐标为（$\frac{11}{4}$，0）．
此时：AC+BC=A′B=$\sqrt{（5-2）^{2}+[9-（-3）]^{2}}$=3$\sqrt{17}$．
故AC+BC的最小值为3$\sqrt{17}$．

点评 本题综合考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间线段最短以及三角形的三边关系等知识点．解题时，注意作图所依据的公理以及相关图形的性质．