Question

7．如图，点P是矩形ABCD对角线BD上的一个动点，已知AB=2，BC=$\sqrt{3}$，则PA+PB+PC的最小值是$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 将△PBC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PE，BF，则EF=PB，△PCE是等边三角形，由PE=PC，得出PA+PB+PC=PA+PE+EF，当PA、PE、EF共线时，值最小，然后根据等边三角形的性质和勾股定理求得PA+PB+PC的最小值．

解答 解：将△PBC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PE，BF，则EF=PB，△PCE是等边三角形，△BFC是等边三角形，
∴PE=PC，
∴PA+PB+PC=PA+PE+EF，当PA、PE、EF共线时，值最小，
连接BF，作FN⊥BC，延长BM=FN，连接MF，则四边形BMFN是矩形，
∴BM=FN，MF=BN，
∵△BCF是等边三角形，
∴FN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$，BN=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AM=AB+BM=2+$\frac{3}{2}$=$\frac{7}{2}$，MF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AC=$\sqrt{A{M}^{2}+M{F}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴PA+PB+PC的最小值为$\sqrt{13}$，
故答案为$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了最短路线问题，矩形的性质，勾股定理的应用，通过旋转得出等边三角形是解题的关键．