Question

8．两个大小不同的等腰直角三角板如图所示放置，右图是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）指出线段DC和线段BE的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据两个等腰直角三角形的性质得：AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°，由等式性质得：∠BAE=∠CAD，根据SAS证明两三角形全等；
（2）由等腰直角三角形得两锐角为45°，再由全等三角形的性质得：∠ACD=∠B=45°，所以∠BCD=90°，则CD⊥BE．

解答 证明：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）CD⊥BE，理由是：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ACD=∠ABC=45°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=45°+45°=90°，
∴CD⊥BE．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是关键，全等三角形的判定方法有：SAS、AAS、ASA、SSS；同时要熟知等腰直角三角形两直角边相等，且两锐角都为45°．