Question

如图，抛物线y=ax²+bx+2与直线l交于点A、B两点，且A点为抛物线与y轴的交点，B（-2，-4），抛物线的对称轴是直线x=2，过点A作AC⊥AB，交抛物线于点C、x轴于点D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在点K，使得以AC为边的平行四边形ACKL的面积等于△ABC的面积？若存在，请直接写出点K的横坐标；若不存在，请说明理由．[提示：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-

b

2a

，顶点坐标为（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）]．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据对称轴为直线x=2和B是抛物线上点即可求得a、b的值，即可解题；
（2）易求得点A坐标，作BE⊥x轴于E，易证△ABE∽△DAO，可得

BE

AO

=

AE

OD

，即可求得OD的值，即可解题；
（3）易求得AB长度，再根据S_△ABC=

1

2

AB•AC=S_{平行四边形ACKL}，可得点K到直线AC距离为

1

2

AB，易求得直线AC解析式，将直线AC向左向右平移

1

2

AB个单位，求得直线与抛物线交点即可解题．

解答：解：（1）∵对称轴为x=2，抛物线经过点B，
∴

- b 2a =2 4a-2b+2=-4

，
∴解得：a=-

1

2

，b=2，
∴抛物线的解析式是：y=-

1

2

x²+2x+2；
（2）∵点A在y轴上，令x=0，则y=2，
∴点A坐标（0，2），
作BE⊥x轴于E，

∵AC⊥AB，AO⊥OD，
∴△ABE∽△DAO，
∴

BE

AO

=

AE

OD

∵B（-2，-4），
∴OA=2，AE=6，BE=2，
∴OD=6，
∴点D坐标是（6，0）；
（3）答：存在两个满足条件的点K，

∵AB=2

10

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC=S_{平行四边形ACKL}，
∴点K到直线AC距离为

1

2

AB=

10

；
①直线KL解析式为y=-

1

3

x+2+

10

，
则-

1

3

x+2+

10

=-

1

2

x²+2x+2，
解得：x=

7+ 109

3

，
②直线KL解析式为y=-

1

3

x+2-

10

，
则-

1

3

x+2-

10

=-

1

2

x²+2x+2，
解得：x=

7- 109

3

，
∴存在K点，横坐标为

7- 109

3

或

7+ 109

3

．

点评：本题考查了二次函数与一次函数交点的求解，考查了二次函数解析式的求解，考查了相似三角形的判定和相似三角形对应边比例相等的性质，考查了点到直线的距离的计算，本题中求得点K到直线AC距离为

1

2

AB是解题的关键．