Question

6．在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的．当然，没有敏锐的观察力是做不到的．数学家们往往是这样来研究问题的：特值探究--猜想归纳--逻辑证明--总结应用．下面我们也来像数学家们那样分四步找出这两个代数式的关系：对于代数式（a+b）（a-b）与a²-b²．
（1）特值探究：
当a=2，b=0时，（a+b）（a-b）=4；a²-b²=4
当a=-5，b=3时，（a+b）（a-b）=16；a²-b²=16
（2）猜想归纳：
观察（1）的结果，写出（a+b）（a-b）与a²-b²的关系：（a+b）（a-b）=a²-b²．
（3）逻辑证明：如图，边长为a的正方形纸片剪出一个边长为b的小正方形之后，剩余部分（即阴影部分）又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），请你说说是如何用这个图来得出（2）中的关系？
（4）总结应用：利用你发现的关系，求：
①若a²-b²=6，且a+b=2，则a-b=3；
②（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）的值．（提示：你可能要用到公式（a^m）ⁿ=a^mn）

Answer 1

分析 （1）把a与b的值代入两式计算即可得到结果；
（2）归纳总结得出关系即可；
（3）根据阴影部分面积不变，验证即可；
（4）①利用平方差公式计算即可得到结果；
②原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．

解答 解：（1）特值探究：
当a=2，b=0时，（a+b）（a-b）=4；a²-b²=4；
当a=-5，b=3时，（a+b）（a-b）=16；a²-b²=16；
（2）猜想归纳：
观察（1）的结果，写出（a+b）（a-b）与a²-b²的关系：（a+b）（a-b）=a²-b²；
（3）逻辑证明：如图，边长为a的正方形纸片剪出一个边长为b的小正方形之后，剩余部分（即阴影部分）又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），
左图中阴影部分面积为a²-b²；右图阴影部分面积为（a+b）（a-b），故（a+b）（a-b）=a²-b²；
（4）总结应用：利用你发现的关系，求：
①若a²-b²=（a+b）（a-b）=6，且a+b=2，则a-b=3；
②原式=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）
=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）
=（2⁸-1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）
=（2¹⁶-1）（2¹⁶+1）
=2³²-1．
故答案为：（1）4；4；16；16；（2）（a+b）（a-b）=a²-b²；（4）①3

点评 此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．