Question

12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④点C、E、D、F四点在同一个圆上，且该圆的面积最小为4π．其中错误结论的个数是（　　）个．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①正确．连接CD．只要证明△ADE≌△CDF（SAS），即可解决问题．
②错误．当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CEDF为正方形．
③错误．四边形CEDF的面积=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×4×4=4，为定值．
④错误．以EF为直径的圆的面积的最小值=π•（ $\frac{1}{2}$•2 $\sqrt{2}$）²=2π．

解答 解：连接CD，如图1，
∵∠C=90°，AC=BC=4，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∵D为AB的中点，
∴CD⊥AB，CD=AD=BD，
∴∠DCB=∠B=45°，
∴∠A=∠DCF，
在△ADE和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴ED=DF，∠CDF=∠ADE，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=90°，即∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形，所以①正确；
当E、F分别为AC、BC中点时，如图2，则AE=CE=CF=BF，DE=AE=CE，
∴CE=CF=DE=DF，
而∠ECF=90°，
∴四边形CDFE是正方形，所以②错误；
∵△ADE≌△CDF，
∴S_△ADE=S_△CDF，
∴S_{四边形CEDF}=S_△CDE+S_△CDF=S_△CDE+S_△ADE=S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×4×4=4，所以③错误；
∵△CEF和△DEF都为直角三角形，
∴点C、D在以EF为直径的圆上，即点C、E、D、F四点在同一个圆上，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$DE，
当DE⊥AC时，DE最短，此时DE=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴EF的最小值为2 $\sqrt{2}$，
∴以EF为直径的圆的面积的最小值=π•（ $\frac{1}{2}$•2 $\sqrt{2}$）²=2π，所以④错误；
故选C．

点评 本题考查三角形的综合题、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．