Question

9．如图，已知PA为⊙O的切线，点A为切点，PO交⊙O于点B，点C是⊙O上一点，且$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，PO交AC于点D，若PA=2$\sqrt{6}$，OD=2，求⊙O的半径和BD的长．

Answer 1

分析 由PA为⊙O的切线，点A为切点，得到OA⊥AP，由垂径定理得到OP⊥AC，设半径OA=r，根据勾股定理得到OP=$\sqrt{P{A}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{24+{r}^{2}}$，然后根据射影定理即可得到结果．

解答 解：∵PA为⊙O的切线，点A为切点，
∴OA⊥AP，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴OP⊥AC，
∴∠PAO=∠ADO=90°，
设半径OA=r，
∴OP=$\sqrt{P{A}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{24+{r}^{2}}$，
∴OA²=OD•OP，
即r²=2$\sqrt{24+{r}^{2}}$，
解得r=2$\sqrt{3}$（负值舍去），
∴OB=⊙O的半径=2$\sqrt{3}$，
∴BD=OB-OD=2$\sqrt{3}$-2．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理，垂径定理，射影定理，熟练掌握这些定理是解题的关键．