Question

如图，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是AC边上的动点（与点A、C不重合）．
（1）当PQ∥BC，且Q为AC的中点时，求线段PQ的长；
（2）若以CQ为直径作圆D，请问圆D有没有可能与斜边AB相切？若相切请求出该圆的半径；
（3）当PQ与BC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据三角形的中位线的性质即可得到PQ的长；
（2）设圆D与AB相切于M，连接DM，根据切线的性质得到DM⊥AB，易证Rt△ADM∽Rt△ABC，得到=，设CD=x，则DM=x，AD=6-x，利用相似比可计算出x；
（3）当PQ与BC不平行时，只有∠CPQ=90°时，△CPQ才可能为直角三角形．根据直径所对的圆周角为直角得到以CQ为直径的圆与AB的交点为P点，把问题转化为以CQ为直径的圆与AB的位置关系．
解答：（1）解：∵PQ∥BC，Q为AC的中点，
∴PQ为三角形ABC的中位线，
∴PQ=BC=4；

（2）以CQ为直径作圆D，圆D可以与AB相切．
理由如下：设圆D与AB相切于M．
连接DM，如图，
∴DM⊥AB，
易证Rt△ADM∽Rt△ABC，
∴=，
设CD=x，则DM=x，AD=6-x，
而AC=6，BC=8得到AB=10，
∴=，解得x=，
即该圆的半径为；

（3）当PQ与BC不平行时，只有∠CPQ=90°时，△CPQ才可能为直角三角形．
①当时，以CQ为直径的圆〔即（2）中圆D〕与AB相切于M，这时点P运动到点M的位置，△CPQ为直角三角形．
②当时，以CQ为直径的圆与直线AB有两个交点，当点P运动到这二个交点的位置时，△CPQ为直角三角形．
③当时，以CQ为直径的圆与直线AB相离，没有交点，即点P在AB上运动时都在圆外，∠CPQ＜90°此时△CPQ不可能为直角三角形．
∴当时，△CPQ可能为直角三角形．
点评：本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质．