Question

13．定义：长宽比为$\sqrt{n}$：1（n为正整数）的矩形称为$\sqrt{n}$矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个$\sqrt{2}$矩形，如图①所示
操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH．
操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．
可以证明四边形BCEF为$\sqrt{2}$矩形．
（Ⅰ）在图①中，$\frac{AD}{FG}$的值为$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）已知四边形BCEF为$\sqrt{2}$矩形，仿照上述操作，得到四边形BCMN，如图②，可以证明四边形BCMN为$\sqrt{n}$矩形，则n的值是3．

Answer 1

分析 （1）设正方形ABCD的边长为1，则BD=$\sqrt{2}$，由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形，得出EF∥AD，由平行线分线段成比例得出$\frac{BG}{BD}$=$\frac{BF}{AB}$，求出BF=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，则BC：BF=1：$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$：1，即四边形BCEF为$\sqrt{2}$矩形；
（2）（Ⅰ）在Rt△BFG中，由勾股定理得：FG=$\sqrt{B{G}^{2}-B{F}^{2}}$，即可解得$\frac{AD}{FG}$；
（Ⅱ）由勾股定理解得BE=$\sqrt{E{C}^{2}+B{C}^{2}}$，由折叠可得BP=BC=1，∠FNM=∠BNM=90°，∠EMN=∠CMN=90°，证得四边形BCMN是矩形，得出MN∥EF，由平行线分线段成比例得出$\frac{BP}{BE}$=$\frac{BN}{BF}$，求得BN=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，则BC：BN=1：$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$：1，即四边形BCMN是$\sqrt{3}$的矩形，即可得出结果．

解答 （1）证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形，
∴∠A=∠BFE，
∴EF∥AD，
∴$\frac{BG}{BD}$=$\frac{BF}{AB}$，即：$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{BF}{1}$，
∴BF=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴BC：BF=1：$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$：1，
∴四边形BCEF为$\sqrt{2}$矩形；
（2）解：（Ⅰ）在Rt△BFG中，由勾股定理得：FG=$\sqrt{B{G}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AD}{FG}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）∵BC=1，EC=BF=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴BE=$\sqrt{E{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
由折叠可得BP=BC=1，∠FNM=∠BNM=90°，∠EMN=∠CMN=90°．
∵四边形BCEF是矩形，
∴∠F=∠FEC=∠C=∠FBC=90°，
∴四边形BCMN是矩形，∠BNM=∠F=90°，
∴MN∥EF，
∴$\frac{BP}{BE}$=$\frac{BN}{BF}$，即BP•BF=BE•BN，
∴1×$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$BN，
∴BN=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴BC：BN=1：$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$：1，
∴四边形BCMN是$\sqrt{3}$的矩形，
∴n=3．
故答案为：$\sqrt{2}$；3．

点评 本题主要考查了折叠的性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、平行线分线段成比例、勾股定理等知识；熟练掌握折叠的性质是解决问题的关键．