Question

【题目】在平面直角坐标中，四边形为矩形，如图1，点坐标为，点坐标为，已知满足．

（1）求的值；

（2）①如图1，分别为上一点，若，求证：；

②如图2，分别为上一点，交于点． 若，，则___________

（3）如图3，在矩形中，，点在边上且，连接，动点在线段是（动点与不重合），动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于． 试问：当在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变求出线段的长度；若变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）m＝5，n＝5；（2）①见解析；②；（3）当P、Q在移动过程中线段MN的长度不会发生变化，它的长度为．

【解析】

（1）利用非负数的性质即可解决问题．

（2）①作辅助线，构建两个三角形全等，证明△COE≌△CNQ和△ECP≌△QCP，由PQ＝PE＝OE＋OP，得出结论；

②作辅助线，构建平行四边形和全等三角形，可得平行四边形CSRE和平行四边形CFGH，则CE＝SR，CF＝GH，证明△CEN≌△CE′O和△E′CF≌△ECF，得EF＝E′F，设EN＝x，在Rt△MEF中，根据勾股定理列方程求出EN的长，再利用勾股定理求CE，则SR与CE相等，问题得解；

（3）在（1）的条件下，当P、Q在移动过程中线段MN的长度不会发生变化，求出MN的长即可；如图4，过P作PD∥OQ，证明△PDF是等腰三角形，由三线合一得：DM＝FD，证明△PND≌△QNA，得DN＝AD，则MN＝AF，求出AF的长即可解决问题．

解：（1）∵，

∴n5＝0，5m＝0，

∴m＝5，n＝5；

（2）①如图1中，在PO的延长线上取一点E，使NQ＝OE，

∵CN＝OM＝OC＝MN，∠COM＝90°，

∴四边形OMNC是正方形，

∴CO＝CN，

∵∠EOC＝∠N＝90°，

∴△COE≌△CNQ（SAS），

∴CQ＝CE，∠ECO＝∠QCN，

∵∠PCQ＝45°，

∴∠QCN＋∠OCP＝90°45°＝45°，

∴∠ECP＝∠ECO＋∠OCP＝45°，

∴∠ECP＝∠PCQ，

∵CP＝CP，

∴△ECP≌△QCP（SAS），

∴EP＝PQ，

∵EP＝EO＋OP＝NQ＋OP，

∴PQ＝OP＋NQ；

②如图2中，过C作CE∥SR，在x轴负半轴上取一点E′，使OE′＝EN，得平行四边形CSRE，且△CEN≌△CE′O，则CE＝SR，

过C作CF∥GH交OM于F，连接FE，得平行四边形CFGH，则CF＝GH＝，

∵∠SDG＝135°，

∴∠SDH＝180°135°＝45°，

∴∠FCE＝∠SDH＝45°，

∴∠NCE＋∠OCF＝45°，

∵△CEN≌△CE′O，

∴∠E′CO＝∠ECN，CE＝CE′，

∴∠E′CF＝∠E′CO＋∠OCF＝45°，

∴∠E′CF＝∠FCE，

∵CF＝CF，

∴△E′CF≌△ECF，

∴E′F＝EF

在Rt△COF中，OC＝5，FC＝，

由勾股定理得：OF＝，

∴FM＝5＝，

设EN＝x，则EM＝5x，FE＝E′F＝x＋，

则（x＋）2＝（）2＋（5x）2，

解得：x＝，

∴EN＝，

由勾股定理得：CE＝，

∴SR＝CE＝；

（3）当P、Q在移动过程中线段MN的长度不会发生变化．

理由：如图3中，过P作PD∥OQ，交AF于D．

∵OF＝OA，

∴∠OFA＝∠OAF＝∠PDF，

∴PF＝PD，

∵PF＝AQ，

∴PD＝AQ，

∵PM⊥AF，

∴DM＝FD，

∵PD∥OQ，

∴∠DPN＝∠PQA，

∵∠PND＝∠QNA，

∴△PND≌△QNA，

∴DN＝AN，

∴DN＝AD，

∴MN＝DM＋DN＝DF＋AD＝AF，

∵OF＝OA＝5，OC＝3，

∴CF＝4，

∴BF＝BCCF＝54＝1，

∴AF＝，

∴MN＝AF＝，

∴当P、Q在移动过程中线段MN的长度不会发生变化，它的长度为．