Question

1．已知二次函数的图象经过（-1，1）、（2，1 ）两点，且与x轴仅有一个交点，求二次函数的解析式．

Answer 1

分析 先由图象经过（-1，1）、（2，1 ）两点，根据抛物线的对称性得到对称轴为直线x=$\frac{1}{2}$，再由二次函数的图象与x轴仅有一个交点，得到顶点的纵坐标为0，则抛物线的顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，0），于是可设顶点式y=a（x-$\frac{1}{2}$^_）2，然后把（2，1 ）代入求出a的值即可．

解答 解：∵二次函数的图象经过（-1，1）、（2，1 ）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=$\frac{1}{2}$，
∵二次函数的图象与x轴仅有一个交点，
∴顶点的纵坐标为0，
∴抛物线的顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，0），
设抛物线解析式为y=a（x-$\frac{1}{2}$^_）2，
把（2，1）代入得$\frac{9}{4}$a=1，解得a=$\frac{4}{9}$，
∴二次函数的解析式为y=$\frac{4}{9}$（x-$\frac{1}{2}$^_）2，即y=$\frac{4}{9}$x²-$\frac{4}{9}$x+$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．