题目内容
8．
如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=9cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当t=1秒时，求PQ的长；
（2）求出发几秒时，△QCB是等腰三角形？
（3）若P沿A→B→C，Q沿B→C→A方向周而复始的运动，则经过几秒P，Q第一次相遇．
分析 （1）先确定出BP，BQ，再根据勾股定理即可得出结论；
（2）先求出AC，再判断出满足条件的点Q必在AC上，再分三种情况讨论计算即可；
（3）根据题意得出点P，Q的运动路程相差三角形的周长（类似于环形跑道上的同向运动）．
解答 解：（1）由运动知，AP=1，BQ=2×1=2，
∵AB=12，
∴BP=12-t=11，
在Rt△PBQ中，根据勾股定理得，PQ=$\sqrt{B{P}^{2}+B{Q}^{2}}$=5$\sqrt{5}$；
（2）在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC=15，
∵△QCB是等腰三角形，
∴点Q必在AC上，
当QB=QC时，点Q是AC的中点，
∴t=（BC+$\frac{1}{2}$AC）÷2=（9+7.5）÷2=8.25秒，
当CQ=CB=9时，t=（BC+CQ）÷2=（9+9）÷2=9秒，
当BQ=BC时，如图，
过点B作BD⊥AC于D，
∴CQ=2CD，
在Rt△ABC中，S△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$AC•BD，
∴BD=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{12×9}{15}$=$\frac{36}{5}$，
在Rt△BCD中，根据勾股定理，得，CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{27}{5}$，
∴CQ=2CD=$\frac{54}{5}$，
∴t=（BC+CQ）÷2=9.9秒，
即：出发8.25秒或9秒或9.9秒时，△QCB是等腰三角形；
（3）由题意知，2t-t=AB+BC+AC=12+9+15，
∴t=36，
即：经过36秒，P，Q第一次相遇．
点评 此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，解（1）的关键是求出BP，解（2）的关键是判断出点Q必在边AC上，解（3）的关键是得出点P，Q的运动路程相差三角形的周长，是一道基础题目．
期末冲刺100分创新金卷完全试卷系列答案
交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点P，在公路1上确定点O、B，使得PO⊥l，PO=100米，∠PBO=45°．这时，一辆轿车在公路1上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：$\sqrt{2}$=1.41，$\sqrt{3}$=1.73）．
如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．| A． | 同位角相等 | |
| B． | 平行于同一直线的两直线平行 | |
| C． | 在同一平面内，过一点且只有一条直线与已知直线垂直 | |
| D． | 两直线平行，内错角相等 |