题目内容
【题目】如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m），且与y轴、直线x=2分别交于点D、E．
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）求证：①CB=CE；②D是BE的中点；
（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB=PE？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=
x2﹣x；（2）①证明见解析；②证明见解析；（3）P的坐标为（3+
， 
）或（3﹣
， 
）．
【解析】试题分析：（1）利用待定系数法，设抛物线的解析式，由题意可知函数过（0,0）,A(0,4)，
B（-2,3），解方程组.
(2) ①过点E作EH∥x轴，交y轴于H，利用勾股定理求CB的长度，求直线BE与对称轴的交点，得到 CE.
②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，证明DFB≌△DHE（SAS）, ∴BD=DE，即D是BE的中点.
(3)BE垂直平分线上的点，到B,E距离相等，所以直线CD与抛物线的交点，就是P点.
试题解析：
（1）解：∵点B（﹣2，m）在直线y=﹣2x﹣1上，∴m=﹣2×（﹣2）﹣1=3，∴B（﹣2，3），
∵抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，
∴点A的坐标为（4，0），设所求的抛物线对应函数关系式为y=a（x﹣0）（x﹣4），将点B（﹣2，3）代入上式，得3=a（﹣2﹣0）（﹣2﹣4），
∴a=
，∴所求的抛物线对应的函数关系式为y=
x（x﹣4），即y=
x2﹣x；
（2）证明：①直线y=﹣2x﹣1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D（0，﹣1），E（2，﹣5），过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，
则BG⊥直线x=2，BG=4,
在Rt△BGC中， 
，∵CE=5，
∴CB=CE=5．
②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，则点H的坐标为,
H（0，﹣5），又点F、D的坐标为F（0，3）、D（0，﹣1），
∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°，
∴△DFB≌△DHE（SAS），∴BD=DE，即D是BE的中点；
（3）解：存在．由于PB=PE，∴点P在直线CD上，
∴符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点，设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，将D（0，﹣1），C（2，0）代入，得
，解得k=
，b=﹣1，
∴直线CD对应的函数关系式为y=
x﹣1，
∵动点P的坐标为（x， 
x2﹣x），
∴
x﹣1=
x2﹣x，解得x1=3+
，x2=3﹣
．
∴y1=
，y2=
，
∴符合条件的点P的坐标为（3+
， 
）或（3﹣
， 
）．
