Question

如图，正方形ABCD的对角线相交于O，点F在AD上，AD=3AF，△AOF的外接圆交AB于E，则

AE

AF

的值为（　　）

• A、

  3

  2

• B、3
• C、

  5

  3

• D、2

Answer 1

考点：三角形的外接圆与外心,正方形的性质

专题：计算题

分析：连结OE、OF，作OH⊥AD于H，OP⊥AB于E，如图，设AF=x，则AD=3x，根据正方形的性质得∠OAF=∠OAE=45°，切可判断四边形APOH为正方形，则OF=OE，AP=OP=OH=AH=

3

2

x，FH=AH-AF=

1

2

x，再根据“HL”可判断Rt△OFH≌Rt△OEP，得到FH=PE=

1

2

x，所以AE=AP+PE=2x，然后计算

AE

AF

的值．

解答：解：连结OE、OF，作OH⊥AD于H，OP⊥AB于E，如图，设AF=x，则AD=3x，
∵正方形ABCD的对角线相交于O，
∴∠OAF=∠OAE=45°，四边形APOH为正方形，
∴OF=OE，AP=OP=OH=AH=

3

2

x，
∴FH=AH-AF=

3

2

x-x=

1

2

x，
在Rt△OFH和Rt△OEP中，

OH=OP OF=OE

，
∴Rt△OFH≌Rt△OEP（HL），
∴FH=PE=

1

2

x，
∴AE=AP+PE=

3

2

x+

1

2

x=2x，
∴

AE

AF

=

2x

x

=2．
故选D．

点评：本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了直角三角形的全等的判定与性质和正方形的性质．