Question

20．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是$\widehat{AC}$的中点，连接AD，BD．射线AC与BD相交于点E，与⊙O过点B的切线相交于点F，DE=4，BE=8．
（1）求⊙O的直径；
（2）猜想△BEF的形状，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直径，得到∠D=90°，由于点D是$\widehat{AC}$的中点，根据圆周角定理得到∠DAB=∠ABD，证得△ADE∽△BDA，得到比例式$\frac{AD}{BD}$=$\frac{DE}{AD}$，然后根据勾股定理即可求得结论；
（2）在R_t△ABD中，tan∠ABD=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得到∠ABD=30°，根据BF是⊙O的切线，求出∠ABF=90°得到∠F=∠EBF=60°，即可得到结果．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠D=90°，
∵点D是$\widehat{AC}$的中点，
∴∠DAB=∠ABD，
∴△ADE∽△BDA，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{DE}{AD}$，
∴AD²=BD•DE，
∵DE=4，BE=8，
∴AD=4$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{{AD}^{2}{+BD}^{2}}$=8$\sqrt{3}$；

（2）在R_t△ABD中，tan∠ABD=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABD=30°，
∴∠DAE=∠ABD=30°，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠ABF=90°
∴∠F=∠EBF=60°，
∴△BEF是等边三角形．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，证得△ADE∽△BDA是解题的关键．