题目内容

如图，在矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a＞3），动点M，N同时从B点出发，分别沿BA，BC方向运动，速度都是1厘米/秒，过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q，当点N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）若a=4厘米，t=1秒，则PM=______厘米；
（2）若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某个时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围．

解：（1）由题意知，当t=1秒时，BN=BM=1，
∵a=4厘米，∴AM=3，
又∵PM⊥AB，
∴△APM∽△ANB，
∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
解得，PM= $\text{[math]}$ ；

（2）如图示，作出△PNB和△PAD，则BM和AM分别是它们的高，
若△PNB∽△PAD，则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，解得，t=2．
即t=2时，△PNB∽△PAD，相似比为 $\text{[math]}$ ．

（3）设BN=x，则0≤x≤3，则BM=x，
由（1）知，△APM∽△ANB，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
所以由题意得， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得x= $\text{[math]}$ ，所以0≤ $\text{[math]}$ ≤3，解得0≤a≤6．
又∵a＞3，
∴a的范围是3＜a≤6．

补充：设BN=BM=x，则PM= $\text{[math]}$ ，
使梯形PMBN和梯形PQDN面积相等，由（3）得3＜a≤6；
若它们的面积都等于梯形PQCN的面积，
∴S_梯形PMBN= $\text{[math]}$ S_矩形BCQM
即 $\text{[math]}$ [ $\text{[math]}$ +x]•t= $\text{[math]}$ •3•t，
解得t=a $\text{[math]}$ ，a＞3，
∴t=a $\text{[math]}$ ，
而0≤t≤3，
∴a＞3，
所以a的范围是3＜a≤6．
分析：（1）由题意知，当t=1秒时，BN=BM=1，又因为PM⊥BC，所以△APM∽△ANB，根据相似三角形的性质，可以求出PM的值．
（2）根据题意，作出图形，当△PNB∽△PAD时，对应边之比等于高之比，即 $\text{[math]}$ ，进而可以求出时间t．
（3）设BN=x，则0≤x≤3，则BM=x，再用x表示出PM，就可以用x表达出两个梯形的面积，求出x的值，进而求出a的取值．
点评：能够利用平行线判定相似三角形，并且利用相似的性质列出比例式是解题的关键．