Question

4．如图，将△ABC沿角平分线BD所在直线翻折，顶点A恰好落在边BC的中点E处，AE=BD，那么tan∠ABD=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 作CM⊥AE交AE的延长线于M，作DN⊥AB于N，DF⊥BC于F，AE与BD交于点K，设DK=a，先证明AD：CD=1：2，再证明△BKE≌△CME，得BK=CM=3a，根据tan∠ABD=$\frac{AK}{BK}$即可解决问题．

解答 解：如图，作CM⊥AE交AE的延长线于M，作DN⊥AB于N，DF⊥BC于F，AE与BD交于点K，设DK=a．
∵AB=BE=EC，
∴BC=2AB，
∵DB平分∠ABC，
∴DN=DF，
∵$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△BCD}}$=$\frac{\frac{1}{2}•AB•DF}{\frac{1}{2}•CB•DF}$=$\frac{AD}{DC}$，
∴$\frac{AD}{DC}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∵DB⊥AM，CM⊥AM，
∴DK∥CM，
∴$\frac{DK}{CM}$=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{3}$，∠KBE=∠MCE，
∴CM=3a，
在△BKE和△CME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠KBE=∠MCE}\\{∠BEK=∠CEM}\\{BE=EC}\end{array}\right.$，
∴△BKE≌△CME，
∴BK=CM=3a，
∴BD=AE=4a，
∴AK=KE=2a，
∴tan∠ABD=$\frac{AK}{BK}$=$\frac{2a}{3a}$=$\frac{2}{3}$．
故答案为$\frac{2}{3}$．
补充方法：取DC的中点P，连接EP，利用三角形的中位线，可以证明BK=3DK，根据AK=$\frac{1}{2}$BD，
根据tan∠ABD=$\frac{AK}{BK}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是发现AD：DC=1：2这个条件，学会常用辅助线的添加方法，属于中考常考题型．